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娃娃的部落全新的開始 23 May 本學期教學心得在馬大的最後一個學期又被安排教一門課。事實上我們中心的 postdoc 是不需要教課的，但是因為有教課經驗對於找（美國的）工作會有好處的情況下，所以在一年前就已經跟數學系說了希望能教一門課。當然從現在的觀點來看是做白工了，因為今年景氣實在不好的情況下課教得再好也沒辦法在美國找到工作。不過這篇文章的重點是要講本學期教課心得，這個做白工的評論也就當成是發發牢騷吧！
這個學期的教學經驗與上一次截然不同。一年多前教的是微積分中難度最高的向量微積分，而那時我的學生是所謂的績優生；這次教的課程是 Pre-Calculus，顧名思義就是修微積分之前該修的數學課，不過這樣說又實在太難理解課程所涵蓋的內容了，所以就允許我用個「中學數學」這四個字來定義這門課吧！什麼？中學數學？是高中數學嗎？事實上是國、高中的數學都可能會被涵蓋進來，但是的確高中數學的成份大些。不過，從這個課名大概就可以去猜想我的學生會是怎樣的一群學生了，絕不會是績優生，績優生不會進了大一之後還得修中學數學。根據另一個同事的說法，這群學生高中的 GPA 平均是二點多，二點多是什麼概念呢？在臺灣的話大致上就是高中各科的平均成績是六十幾。原來平均六十幾的高中生可以進馬大呀！好吧…只能說馬大是州立大學，所以必須照顧一下該州的學生的權益，所以收一些這樣的學生也就不足為奇了。
現在你們心裡大概有些譜了，知道我手上的學生會是怎樣的「貨色」了吧？不過根據我的經驗，估計說出以下的事實之後還會讓大家再跌破幾付眼鏡。為了確保課程的品質，這門課的一開始便有個所謂的 algebra quiz，也就是基本計算能力測驗。考的東西大致上像是 16 開平方是多少，或是繁分數的化簡。嗯！相信大家這下有些概念這是個怎樣的考試，這不就是國中程度的基本計算測驗嗎？的確，不過說來好笑，在時間絕對充足的情況下，廿格的填充題，我將近廿五個學生裡面，做對十格以上的只有約一半的學生，而做對十五格以上只有兩個，這…還沒開始教呢！情況就已經如此慘烈了，那接下來該怎麼辦？
這個 algebra quiz 的目的，有一個事實上是要勸退學生的。因為如果學生在這次考試中沒辦法拿到七成以上的分數，硬修這門課的結果非常有可能就是當掉。不過學生多半不信邪，他們就當這個是一次義務考試，反正所佔的分數不高，也就廿分，小意思。真正的重頭戲還是後來的六次期中考和一次期末考（這七次考試共佔五百分）。什麼？六次期中考？有沒有搞錯？我媽在聽到我們有六次期中考之後，還質疑了一下說美國也流行這種用考試逼學生唸書的方法嗎？的確！這六次期中考的設計就是為了讓學生時時複習所學的東西（因為每次考試都可能會用到之前學的東西），所以在臺灣的學生千萬不要喊說兩次期中考加一次期末考很多，這真的是為了讓學生多多用功而苦心設計的呀！
在繼續講下去之前，以下這個例子真的是不吐不快。話說 algebra quiz 裡繁分數的化簡中，有一題的答案是 1/4（四分之一），但是有個學生很努力地化簡了所有的分數之後，寫出了 3/12（十二分之三）這個答案。有沒有搞錯？這看不出來是四分之一嗎？嗯！我班上有的就是這樣的學生。有一個學生他的答案估計是比較難看出是 1/4，他的答案是 21/84。唉…現在大家應該對我的學生有什麼能力有點認識了吧？我的學生就是這樣的一群臭皮匠，如果三個臭皮匠勝過一個諸葛亮的話，廿五個學生至少也該能湊出半打的諸葛亮吧！所以允許我先說一下這門課最後的結果：我班上三分之二的學生不及格！（我沒辦法放更多學生過，因為這門課過或不過是有統一標準的）果然諸葛亮也不是那麼好生成的。當然這時我也要懷疑一下是不是我自己的教學有問題，但是考量到他們的 algebra quiz 如此慘烈的情況，我想我應該不需要太自責才對。
言歸正傳。這學期教學的內容主要如下：解一元一次方程式（小六、國一）、解一元二次方程式（國一）、解分式方程式及一元二次方程式之應用問題（國一）、多項式（高一）、一次及二次多項式之作圖（國二、國三）、一般多項式及有理式之簡略作圖（此部份臺灣中學並沒教授）、指數與對數及其作圖（高一）、三角函數及其作圖（高一），其中重點在三角函數的部份，總共有三章（這學期也就教七章）。我不知道現在臺灣的中學數學進度是怎麼排的，不過我上面括號中填寫的是我中學時期學這些內容時的時間，原來 Pre-Calculus 教的是我那個年代高一之前的數學呀！難怪當年有人會說美國人數學很爛，上了大學之後連我們高中的數學都不會（修了還會被當掉），這些人當年到了臺灣估計連高中都畢不了業才對。不過聽說九十七學年度是當年第一屆使用建構式教學的學生進大學的一年，也聽說這群學生的數學能力落差極大，教授們怨聲載道，所以照理說我不該說是學生的問題，應該還是美國數學學習大環境的問題。因此，以下我的重點著重在根據我這學期教學觀察的結果，探討數學學習的一些心得。
這個學期，我有一個很用功的學生，他基本上在這個學期的最後一個多月，每個星期都會來找我個兩次，問我習題該怎麼做，從他所遭遇到的問題，也許可以看出一些可能的端倪所在。這個學生的計算速度極慢，曾經有一次我跟他講一個應用問題，列出數學式最後簡化到了像是 4/x = 2/5 之類的問題，然後我很快地就跟他說 x=10。在經過了約一分鐘的思考之後，他問了我，為什麼得到了這個答案？說到這個，就要說說美國數學教育裡面有一條潛規則：不准教速算法。所以，像我們所謂的「交叉相乘」（在上例中就是 2x = 20 這樣的式子是不能教給學生的），對美國的多數學生來說是陌生的。當然，他們有他們的作法，例如上例中就是兩邊同乘以五，會得到 20/x = 2，然後再兩邊同乘 x 得到 20 = 2x 進而推得 x=10。我不是說這樣的方式是錯誤的，而是這樣學習加上反對使用交叉相乘的結果，就是讓這群學生對基本計算非常不熟練，就更別說要處理什麼困難的問題了。
同樣的情況發生在分數的加減以及求兩數和或差的平方。對很多美國學生而言，分數的加減是天大的難題，他們心中很少會有所謂通分的概念，很多人在做 1/4+1/5 的計算時會得到結果是 2/9，也就是分子加在一起然後分母加在一起。當然我們看到這個計算結果會去懷疑他們究竟懂不懂分數是什麼？我一直在想他們在小學或中學時是怎麼學習分數的，但是想破頭也想不出個所以然。後來有個學妹的一句提點，讓我想到了可能的關鍵所在。1/4=0.25，1/5=0.2，所以 1/4+1/5=0.45 = 45/100 = 9/20！美國人是不是這樣學的就不得而知了，但是從這大概可以稍微看出一點點端倪，分數對他們而言似乎是個記號，也就是不要真的除出一個數字，就把一除以四得到的數記成 1/4，實際要用到時就把它變成小數表示法，然後加加減減之後想要變回分數就再作些手腳。我猜這種方式在美國可能真的很盛行，主要的原因是美國的學生很愛用計算機，而分數的運算正是使用計算機能最快得到答案的一個事例。但是這種代數運算的學習在碰上分式運算就馬上吃鼈了！例如要解 1/(x-1) - 1/(x+1) = 2/3 這個分式時，計算機可是不會幫你算出 1/(x-1) – 1/(x+1) 是什麼數的！唯一的解決方法還是要先通分再化簡。當然我相信美國的數學教育應該不至於連通分都不強調，只是學生可能更習慣於把分數看成是兩數相除的記號，所以對分數的運算就超級不熟悉吧！
另外說到兩個數的和或差的平方的問題，這個在改考卷時有特別被強調：當看到學生寫出類似於 (x-3)^2 = x^2-9（^2 表示平方）這樣的式子時，一律先扣個四分。這固然是因為那樣的計算是絕對錯誤的，但是也希望讓學生不要再犯這樣的錯誤而加重處罰的力道（一次期中考五十分，這樣一個「小」錯誤就拿掉了 8% 的分數也是傷害頗大），不過，嘿嘿…有趣的是這個錯誤在重罰之下還是有很多學生仍然履試不爽！我實在很難想像這種低級的錯誤怎麼會一直出現在考試裡，究竟學生是太不受教還是這真的是很難懂的概念？我後來突然意識到了一點，就是所謂的運算規則。運算規則，對我們這些在臺灣（或亞洲）長大的學生而言或許是死背的結果，但是對美國長大的學生而言似乎是…遊戲的結果。遊戲固然是該有遊戲規則，但恐怕在小學階段這些運算的規則都變成只是遊戲的一部份，而遊戲的規則永遠是可以改變的，所以，為何我不能自訂一條 (x-3)^2 = x^2-9 呢？這個遊戲規則還比 (a-b)^2 = a^2 –2ab +b^2 簡單許多！
記得曾經不止一次收到同一個轉寄的 email，這個 email 是關於美國人怎麼學二位數以上的乘法。Email 所附的影片（影片請參考連結 http://media.webs-tv.net/m/981238）中用了一個看來很華麗（？）的方式來說美國人是這樣做兩位數以上的乘法的，然後很多臺灣人看了這個影片之後還特別寫下了為什麼小時候不是這樣學乘法的然後在那抱怨臺灣所學的直式乘法之枯燥的心得。這個影片裡面所展示的乘法方式是很遊戲化的，結果當然也都與直式的計算一樣，但是直式運算對多數人來說似乎是背誦的結果，而影片中展示的運算則是快樂的遊戲。然而，事實真的是這樣嗎？在明眼人的眼中，這兩個運算法根本就是同一套，只是影片中那套很巧妙地用遊戲的方式包裝了直式運算。效率上來說，我個人是覺得直式運算的效率高多了，那個很遊戲化的方法，美其名是很有趣且育教於樂，但是裡子不變的結果卻容易讓人計算速度變慢。
提到這個例子讓我想到了一個我幾年前問過前室友 Joe 的一個問題：知不知道直式乘法為什麼要那樣做計算？我相信很多臺灣的小學老師恐怕也都不知道為什麼直式乘法要那樣做，只知道是一種快速運算的規則，也因此教育部當年在推行建構式教學時特別把直式運算當成是洪水猛獸要求不得教授給學生。Joe 當年的回答是不知道為什麼，反正就記下來是這樣子算，而我想多數臺灣教育下長大的學生也都是知其然而不知其所以然地去學習了這套直式運算，也因此在看到了那個華麗的計算影片時才在那哀怨說當年如果是那樣學習的話數學就不會這麼討人厭之類的話。小時候老師並沒有教我為什麼直式乘法可以算出正確答案，只是一再要求我們要正確運用直式並熟練它，但是如果要我（長大後）去想為什麼直式可以得到正確的結果，我可以馬上找出理由說服大家，而這絕對不是因為我特別聰明或是我唸數學系的緣故，原因事實上就在乘法的原理而已，只是大家沒去想過。對我而言，乘法運算的原理在直式下反而看得清清楚楚，育教於樂的華麗展示，是把計算過程包裝得好看許多，但結果反而把原理給模糊化了；直式計算雖然枯燥，但是原理盡在運算的過程中，端看你有沒有發現而已。
漸漸地，我開始意識到數學教育中太過強調育教於樂的壞處。數學學習中最重要的訓練之一是邏輯的訓練，而要教小朋友什麼是邏輯自然是天方夜譚。所以在這方面，東方的作法就是直接要學生背誦邏輯的結果（也就是公式），而西方的作法就是用遊戲的方式讓小朋友去接受那個邏輯的結果。這兩種方法的結果是，東方的學生普遍痛恨數學但是至少有基本計算的能力，西方的學生則是一樣痛恨數學但基本計算能力更遜。所以，我實在看不出育教於樂對於學習數學有什麼明顯的好處。有人也許會問那邏輯的訓練在哪？我認為，好好地按部就班地寫下計算的式子就是一種邏輯的訓練，而將問題分析後找出適合的公式並代入公式也是按部就班的一種絕佳體現。
所以，在我跟那位常來問我問題的學生接觸之後，我發現了他的最根本問題就是基本計算能力太弱。簡單說，他被陷在計算的恐懼裡。對他而言，數學的學習變成不是如何用數學去解決實際問題，而是如果解決數學本身（例如計算）所產生的問題。這對他而言是很可悲的，對多數人而言又何嘗不是？背誦從某個角度來說可以快速解決計算能力的問題，但是背誦要做得好得從小就做起，十八歲再來強迫自己硬背交叉相乘或是繁分數化間的訣竅也許不算太晚，但是如果一定要背的話為何不從小就做起？
當代數學大師丘成桐曾經說過，數學要學好，有個很重要的功夫一定要做，就是背誦。分數運算要通分也是背、(a-b)^2 = a^2 – 2ab +b^2 的運算規則也是背，甚至直式運算也是背，正是因為背下了這些東西，讓我們更有時間去想更根本的事：怎樣解決問題。誠如斯言！ 21 October Home from 美女與野獸音樂劇第一次接觸美女與野獸是在大一升大二暑假時
在大世紀電影院看的卡通電影
而這也是我所接觸的第一部迪士尼卡通
曾幾何時迪士尼開始把一些賣座的卡通也改成音樂劇
其中最出名的是獅子王
美女與野獸的話感覺上好像並不那麼出名
但是前陣子有機會接觸到音樂劇版的音樂
發現音樂劇版的音樂
比起卡通版的還多了好幾首
其中有一首是我聽過之後便一直很喜歡但是卡通版裡卻沒有的
歌名叫做 Home
劇情發展到這裡是 Belle 為了救回誤入野獸所在的城堡被拘禁的父親
自願以自己一輩子的自由換取父親能離開城堡
而在自己被拘禁之後唱出了這首歌
藉這個機會介紹給大家
歌詞如下：
Yes, I made the choice 是的，我做了選擇
For papa, I will stay 為了爸爸，我將要待在這裡 But I don't deserve to lose my freedom in this way 但是我不該以這種方式失去我的自由 You monster! 你這個怪物 If you think that what you've done is right, well then 如果你認為你做的事是對的… 那麼 You're a fool! 你是個笨蛋！ Think again! 再想一想吧！ Is this home? 這可以叫做家嗎？ Is this where I should learn to be happy? 我應該學著快樂待在這個地方嗎？ Never dreamed 從來沒夢見過 That a home could be dark and cold 所謂的家會是這麼的黑暗與寒冷 I was told 在我童年時的每一天 Every day in my childhood 甚至是長大之後 Even when we grow old 我總是被教導說 Home will be where the heart is 家，是心所在的地方 Never were words so true! 從來沒有字句可以寫得如此真確 My heart's far, far away 我的心在遙遠的地方 Home is too. 家也是 Is this home? 這是家嗎？ Is this what I must learn to believe in? 我必須學著相信這是家嗎？ Try to find 為了以防萬一 Something good in this tragic place 我得在這地方待上一輩子 Just in case 被困在這個空空的房間裡 I should stay here forever 我必須試著去 Held in this empty space 在這個悲慘的地方找到一些令人愉快的好東西 Oh, but that won't be easy 哦！但是這並不容易 I know the reason why 我知道原因是什麼 My heart's far, far away 因為我的心在遙遠的地方 Home's alike. 家也一樣 What I'd give to return 我需要付出什麼 To the life that I knew lately 才能回到我所熟悉的那個人生 But I know now I can't 但是我現在知道我沒辦法 So my problems going by 所以這問題也就自然消失 Is this home? 這是家嗎？
Am I here for a day or forever? 我會在這待上一天或是一輩子？ Shut away 被迫遠離這個世界 From the world until who knows when 不知到何年何月 Oh, but then 哦… 但是 As my life has been altered once 就像我的人生被改變了一次 It can change again 將來也可以再發生變化 Build higher walls around me 在我身邊築起高牆 Change every lock and key 換掉每一個鎖、每一把鑰匙 Nothing lasts, nothing holds 關於我的一切 All of me 沒有任何一部份會保留或延續下去 My heart's far, far away 我的心、我的家 Home and free! 我的自由都在遙遠的地方！ 音樂的話可以連到 Youtube 上的 http://www.youtube.com/watch?v=hAsbN0gGfn0 來試聽（這個連結是 CD 裡的版本）
上傳的人還蠻有心的
把卡通裡面對應的劇情配上了音樂劇裡面的音樂
不知道大家聽了之後是不是喜歡呢？
如果要看音樂劇版本的影像的話可以參考這個連結 http://www.youtube.com/watch?v=jiuhnCP2fYw 8 September Tell My Father前幾天在某音樂劇友那下載了一部一九九八年出的音樂劇
劇名是 Civil War
是在講美國南北戰爭的音樂劇
有好一陣子沒接觸新的音樂劇了
之前在那劇友那也下載了一些新的音樂劇
但就屬這一部我聽了之後覺得比較有感覺
其中有一首曲子我聽了幾次之後
開始邊聽邊流淚…
這首歌叫 Tell My Father
劇情應該是某個在戰場上死去的兒子
拜託他的朋友帶口信給他的父親
口信便是歌詞的內容：
Tell my father that his son 告訴我的父親，他的兒子
Didn't run, or surrender 沒有跑、沒有投降 That I bore his name with pride 我以擁有他的名字為榮 As I tried to remember 我試著記得（他說過的） You are judged by what you do 當經歷了一切之後 While passing through 你是由你的所做所為被（上帝）審判 As I rest 'neath fields of green 當我在這片綠色的原野躺下後 Let him lean on your shoulder 讓他依靠在你的肩上 Tell him how I spent my youth 告訴他我如何付出我年輕的生命 So the truth could grow older 讓真理得以持續 Tell my father when you can 可以的話，告訴我的父親 I was a man 我是個男人 Tell him we will meet again 告訴他有天我們會在 Where the angels learn to fly 天使學飛的地方重逢 Tell him we will meet as men 告訴他我們會以男人的身份重逢 For with honor did I die 因為我光榮地死去 Tell him how I wore the Blue 告訴他我如何穿著藍色的軍裝（註：南北戰爭時美國聯邦政府的軍隊著藍色軍裝） Proud and true through the fire 在火線中穿越 Tell my father so he'll know 告訴我的父親這一切所以他將知道 I love him so 我是多麼地愛他 Tell him how we wore the blue 告訴他我穿著藍色的軍裝 Proud and true like he taught me 像他教我的一樣 Tell my father not to cry 告訴我的父親不要哭泣 Then say goodbye 然後珍重再見 至於音樂的話
我找了一個 Youtube 的連結 http://au.youtube.com/watch?v=QnYOfMrpKpA
有興趣聽聽看的人可以連過去試聽
希望大家喜歡這首歌 5 September 從多項式求零根談到我所做的數學研究以前爸爸在世的時候，曾經問過我我所研究的數學在做些什麼。那時的我，並不清楚要怎麼跟沒學過大學數學的爸爸解釋，所以總是支吾其詞，頂多會說就是在研究流體例如水呀空氣的流動之類的… 兩年前的暑假在臺灣時，一次偶然的機會跟同是學數學的 M 提到了我的演講講題，內容是關於某個流體問題的解的存在及唯一性（詳見下述），她當下的第一個反應便是問我什麼叫做解存在與唯一！當然，學數學的她不可能不知道那是什麼意思，她的目的是希望我能好好想一個說法可以讓初入數學殿堂的學生甚至是完全不懂數學的人了解我在做怎樣的數學，在經過一連串的思考之後，終於有了以下的文章。
在講我做的數學之前，讓我先回到我們的小學、中學時代所學的數學。在國小「怎樣解題」的單元或是國中的一元一次方程式以至於二元一次聯立方程式裡，我們學到了如何去解一個等式，例如 ax = b 的話 x 等於 b 除以 a（如果 a 不等於零的話）。國小的階段，a 和 b 基本上就是整數，所以我們知道滿足這個方程式的數（數學上稱之為解）一定是有理數（就是可以寫成分子和分母都是整數的分數的通稱，例如三分之一就是個有理數，而整數是有理數的特例，即分母是一的有理數，這也表示有理數是包含整數的一個更大的數系），所以如果 a 和 b 是整數的話，我們說 ax = b 這個方程式有解、解是個有理數（換句話說，要找這個方程式的解的話就得在有理數裡找，在很多情況之下在整數裡找不到這個方程的解）。再推廣一些，ax = b 這個方程式在有理數中有解，如果 a 和 b 也都是有理數的話。
接下來談到國中數學，國中數學有一個相當重要的課題：解 ax^2 + bx + c = 0 這樣的方程式，其中 x^2 的意思是 x 的平方。在解這樣的方程式之前，會先學到什麼叫無理數。最簡單的例子就是根號 2 這個數字，根號 2 的定義就是滿足 x^2 = 2 的正根（另一根為負），而在國中階段我們也學會了證明這個數字是無理數的方法。要注意到的是，x^2 = 2 這個方程式在有理數裡是找不到解的，更一般而言，ax^2 + bx + c =0 的解，即使是 a b c 都是整數（或是有理數）的情況之下，也不一定能在有理數中找到解。這時，我們學到了另一個叫實數的數系，這個數系是所有無理數和有理數的集合（換言之，有理數是實數的特例），而我們也由解的公式中得到，如果在判別式 b^2 - 4ac 大於或等於零的情況之下，ax^2 + bx + c = 0 在實數中有解。那判別式小於零的時候呢？國中時我們被教導這樣的情況，方程式「無解」，我還曾經因為有次寫了有「複數解」被老師打叉（老師並不是不知道有複數解，只是為了不讓我聯考出這樣的錯所以強制說我的答案錯了）。簡單說，在國中生應該了解的數系：實數系當中，判別式小於零的一元二次方程式是沒有解的（或是說，判別式小於零的一元二次方程式在實數裡找解是找不到的）。
到了高中，我們開始學複數（實數是複數裡面虛部為零的特例），此時，拜公式所賜，我們馬上得到了一個結論：一元二次方程式在複數中有解，只要係數 a b c 都是複數。到這裡，一元二次方程式的理論算是完備了：係數是「複數」的一元二次方程式在「複數」中有解！這時，接下來的問題就是，那一元三次方程式 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的係數是「複數」的情況之下，是否在「複數」中同樣有解呢？拜卡丹公式之賜，答案也是肯定的！那麼… 一般的一元多次方程式呢？如果是一元四次方程式，有數學家一樣寫出了解的公式，所以拜公式之賜，只要係數是複數的一元四次方程式就會有複數解。
然而，當次方數超過四的時候，情況就變得相當複雜了。首先我們要了解到的是，數學家「證明」了一元 n 次方程式，在 n 大於等於五的情況下不會有一般的公式解（公式解只存在於係數很特殊的情況之下，對一般的係數是沒有公式解的）。這時，在沒有公式的幫忙之下，我們要怎樣去知道一個一元多次方程式有沒有解（解的存在性）？解又是長成怎樣（解會在怎樣的數系裡）？這個問題在數學家伽羅瓦（Galois）的努力之下於十九世紀時被解決了，這個「係數是複數的一元 n 次方程式有 n 個複數解」的定理被稱之為代數基本定理，成為大學至於研究所的代數必學的東西（學什麼呢？學為什麼這個定理是對的，有很嚴謹的邏輯論述可以證明這個定理，學的就是看懂這些邏輯的論述）。
另外要提到的是，上述的例子中，一元多次方程式一般說來解都有很多個，所以解常常並不是只有一個。但是常常我們在處理各種應用問題時，所列出的一元多次方程式只會有一組「合理」的解。例如我們可以問，在銀行提供什麼樣的年利率之下，存入該銀行兩年後的本金會增值 10%。這個問題，假設年利率是 r%，那麼式子列出來就是 (1 + 0.01 r)^2 = 1.1。這個方程式會有兩個 r，其中一個是正數（約 4.88）一個是負數（約 -204.88），我們當然很自然地會把負的那個答案給剔除掉，所以答案就是年利率 4.88% 會讓本金在兩年後增值 10%。
以上這些例子，說穿了就是人類窮盡智力，想找一元多次方程式的解的過程。一開始人類對數的理解中只有整數或有理數，但是當面對一元二次方程式時，有理數顯然已經不夠用，至少得引入更一般的實數系；同樣地實數系對於一元二次方程式也不完全夠用，之後才又引進了更一般的複數系，這些對數系的尋找（或者說對已知數系的一再推廣），事實上反應了找解的過程。更一般地說，因為數學家相信一元多次方程式一定有解，重點就是希望找到一個合適的數系使得我們在那個數系中能找到解。
在談過什麼叫做找解之後，接下來進入正題，開始講講我做的數學是怎樣的數學。我在就讀博士期間所研究的課題是利用數學去了解流體力學與彈性力學的結合，以細胞膜或是水球這樣的東西為例，這些物體的表面是由有彈性的物質（例如橡皮或是蛋白質）所組成，但是內部卻是充滿了與表面構成的物質性質完全不同的流體（例如水）。假設 u 是流體中代表流體速度的函數，p 是流體中代表壓力的函數，那麼從物理上的質量守恆及動量守恆定律，在細胞膜或水球所占據的空間裡 u 與 p 會滿足某組偏微方程式（這裡我不打算討論什麼叫偏微方程，重點是方程式）。我所研究的數學問題便是，在什麼樣的函數空間（例如所有到處可微分的函數所組成的集合就是一種函數空間）中，描述這些現象的方程式有解？解是不是只有一個？有沒有解的問題被稱為存在性問題，而解是不是只有一個的問題則被稱之為唯一性問題，方程的解存在且唯一被稱之為 well-posedness（不知道中文翻成什麼，就直接寫英文了）。
就實驗的角度來看，存在性和唯一性都是無庸置疑的。因為原則上的確可以在任何一個時間 t 和地點 x 測量到流體的速度 u(x,t) 與壓力 p(x,t)（即所謂的解存在，測量值便是 u 與 p 的函數值），然後實驗在變因都不變的情況之下重複多次不考量測量的誤差的話也只會量出同樣的結果（即所謂的唯一性），所以，就實驗科學家的角度而言，數學家是有點太笨了點，怎麼還會懷疑這種問題的答案？但是對數學而言，在存在性的方面，就是想找一個合適的函數空間（1. 如何推廣到處都可微的函數的這個函數空間？2. 在偏微方程的觀點裡都是指函數空間，因為 u 和 p 都是函數而不是只是單純的數字而已），然後證明那些方程式在那個函數空間裡面有解，而唯一性，很多時候是想找出合適的數學條件（這些數學條件通常都有物理的背景），證明在這些數學條件的限制之下解在那個函數空間裡只有一個。
這樣的研究有什麼用處？對我們而言，這樣的追尋過程，常常會引發更深刻的思考，了解這個系統中每一個環節的關係。對實驗科學家而言，看到便是存在的最佳證明，他們並不在意這個物理系統的機制是什麼。如果在意這些機制的話，實驗通常沒辦法回答這些更深刻的問題，只能從理論上去著手。當然，這並不是說實驗科學家變得很等而下之，在很多情況之下，實驗科學家會走得更前端，先觀察到很多現象去累積足夠的資訊去發展一些可能的理論，或是針對一些特殊的物理理論去設計實驗而驗證理論的正確性，而我們這些做數學的就是跟在他們的後面擦他們的屁股（意思是他們做了一些我們認為不夠乾淨漂亮的物理，我們設法將其完善）。
有老師說過，數學唸到最後都變成是一種哲學。看我們追尋有沒有解的過程中，你是否也開始了解這句話的意義了？ 22 July 新版悲慘世界觀後感2008 年 7 月 19 日晚上八點，在據說是美洲最古老的劇院（Walnut Street Theater，建於西元 1809 年）看了新版的悲慘世界。一開始並不知道是新版，只是因為太愛悲慘世界，不小心在網路上看到費城這有演出之後就買了個當時能買到最好的位子（結果發現幾乎是最好的位子，還好票不貴），來到費城之後才發現原來這個劇院還是美洲最早的劇院…
新版的悲慘世界是在 2008 年夏天開始上映的，為了說明新舊版的差異，先從舊版談起。舊版的悲慘世界，在舞臺道具的使用上極為簡單，很多道具得靠觀眾的想像。例如第一首 Prologue 裡面，舊版的表演方式就是囚犯雙手狀似拿著一個鋤頭在那挖地，或是之後去打工時就一群人狀似在搬東西那樣，但是演員實際上並沒有真的拿了一個東西在手上。另外，布景上舊版的悲慘世界最大的舞臺道具就是學生軍搭建的堡壘，其它的舞臺布置就是一些像是床、桌子或椅子之類的東西，所以基本上可以說舊版的悲慘世界在道具的使用上是相當陽春的，因此就得在人的走位方面多加設計。在舊版的悲慘世界中還有一個特色是，舞臺的中央有個會旋轉的大圓盤，演員在行走時就常常是在上面走，而圓盤也同時往另一個方向轉，所以演員就會一直在舞臺的中央不會因為走動而讓觀眾得把眼睛跟著演員跑。
新版的悲慘世界在道具的使用上相對上就多很多，容易讓人一目了然演員在做些什麼。也許少了些想像的空間，但是我想仍算是個進步。除了道具的使用之外，新舊版最大的不同還是在於對一些場景上處理的差異。首先，在跟 Fantine 有關的部份幾乎做了很大的改動。除了 I dreamed a dream 是個人獨唱舞臺淨空之外，像是 Lovely Lady 這曲就有相當大的突破，我幾乎可以把新版的這曲定為輔導級！這曲在劇中是 Fantine 被趕出工廠之後迫不得已去當妓女，在新版的演出中，嫖客們有演出嘿咻的場景，例如在床上就是嫖客的在妓女上位，也有把妓女拉到牆邊用站立的方式在嘿咻。這一段不知道算不算兒童不宜，不過我覺得也是對本曲很好的一種詮釋方式。另外像是 Fantine 在幻想 Cosette 在玩耍的畫面，新版唱這曲的同時，便有 Cosette 在舞臺的另一側拿著捕蟲網捕捉蝴蝶並打光特寫的場景，這個部份我覺得也是個很大的進步。
新版的演出中，不再有打出現在像是 1815 Tulon 提醒觀眾現在時間與地點。故事中在時間上最大的落差是跳過了 Cosette 成長的那一段，直接由小女孩變成青春期的少女，新版在這方面的安排則是在唱 Look down 之前由小 Cosette 和小 Eponine 把手中的洋娃娃交給了大 Cosette 與大 Eponine，而舊版的方式則是在前奏的音樂上打出 Paris, ten years later。如果沒看過故事又沒看過本劇的人，在前面若沒注意到兩個小女孩的名字，那在十年後一開始並不會知道誰是誰，可能會覺得有點突兀，所以…我個人認為這也是個很不錯的改進，一目了然哪個人是哪個人長大之後的模樣。
另一個比較大的變化是在 Marius 與 Cosette 的相關場景上面。舊版中，Marius 被 Eponine 帶去的地方是一個花園大門之外，Marius 爬過牆進花園與 Cosette 互訴衷情。新版中，Valjean 與 Cosette 改住洋房，Marius 是站在陽臺之下與站在陽臺上的 Cosette 對唱 A heart full of love。不知道是不是受到羅密歐與茱莉葉的影響，Marius 後來還爬上了陽臺，然後跟 Cosette 進房裡去，直到 Eponine 大叫警告有人要來搶劫才倉皇逃離。這當然這也影響到下一首 One day more 的表現方式。舊版中所有的人都在同一個舞臺上，當 Marius 與 Cosette 對唱時兩人就跑在一起合掌，但是新版中因為 Cosette 一直在二樓，所以不僅兩人無法合掌，連 Valjean 要收拾行李也得改成由僕人把行李抱給他（舊版中是由 Cosette 抱給 Valjean 的）。不過這倒並沒多大影響就是，畢竟 one day more 本來就是一個「虛構」的大合唱，所有的角色都得同臺演出，並無所謂哪種表現方式較好哪種較差的問題。
另外有一個笑點是在 A heart full of love 一開始 Marius 的表演，在新版中劇本特別舖陳了 Marius 第一次見到 Cosette 時那種緊張的心情：當 Marius 要對著 Cosette 唱出第一句 A heart full of love 之前，從口袋拿出了一張寫好要跟 Cosette 講什麼的小抄，唱完第一句之後過了兩秒，發現自己小抄拿反了，緊張地再把小抄上下顛倒唱出第二句 A heart full of songs。但是因為表現的實在太糗了，過了兩秒之後就把小抄揉成一團，表現出一付很懊惱的樣子唱出第三句 I am doing everything all wrong。這短短的三句，在表演上增加了如此的笑果，我覺得也是挺讚的。
當然說了這麼多覺得新版不錯的地方，也得說一些我覺得新版不如舊版的地方。我最不滿意的是在 Empty chairs at empty tables 時的處理。舊版中，Marius 唱出眾弟兄皆死我獨活的悲傷心情的同時，他的弟兄們漸漸從暗處走到亮處，表現出大家還活生生地活在 Marius 的記憶中的樣子，但是曲終之前，這群人又漸漸從亮處退回到暗處，表現出再怎麼懊悔也無法改變人死不能復生的現實。新版中，唱歌的同時是打光到舞臺後方、布滿弟兄屍體的堡壘之上，曲終之前再漸漸暗掉，就少了那麼點感覺。但是我想也許有人會比較喜歡新版的方式也說不一定。
新舊版在其它的部份除了道具的使用新版較多之外，基本上沒太大的改動。但是綜合一些我覺得很不錯的改變，我認為新版的悲慘世界更值得一看了。有興趣的人記得找找自己所在的城市附近是否有演出哦！附帶一提的是，新版的悲慘世界多了一小段曲子，是 Valjean 第一次遇到在外面提水的小 Cosette 時所唱的曲子，雖然很短但是對我這個老劇迷而言帶來了耳目一新的感覺。 |
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